【论教】 数学分析教学体会浅谈

发布时间:2016-09-09来源:澳门金莎字体:[]设置

    杨世海,数学学院副教授。任教课程包括高等数学、实变函数、泛函分析、微分几何、数学分析、拓扑等。2010、2014、2016年入选“我心目中的好老师”。2015年获金沙澳门官网【www.3016.com】首届青年教师教学比赛三等奖、理学工学组一等奖;2016年获第二届上海高校青年教师教学竞赛自然科学基础组一等奖。

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    数学分析是大学数学课程中的一门重要的基础课。基础的含义在于,学好数学分析是继续学习很多其他数学课的必要条件。虽然是基础课,但想要学好数学分析却绝非易事。

一方面,数学分析的学习,从内容、思想和方法上,与中学数学学习有着很大的不同。中学数学多是处理具体的、静态的、有限的问题,而数学分析研究的是抽象的、动态的、无限的对象。另一方面,数学分析的教学方式也和中学有着显著的不同。课堂讲授的主要是基本概念和定理,内容多且难;用于例题的讲解与习题的练习时间少。因此,数学分析的学习需要思维方式、理解能力、自主学习能力的进阶。学生有一个适应和转变的过程。过程长短因人而异,取决于个人的天赋和努力程度。

数学分析的学习没有捷径,花多少功夫就会有多少收获。课堂教学可以帮助学生更好的理解基本概念和定理,掌握一定难度的计算和证明能力。老师讲的内容怎么来消化,怎么来掌握,要通过自己复习来达到,课后多读书、多做题、多思考。

学习数学分析,做题非常重要。美国数学家Halmos有句名言:The only way to learn mathematics is to do mathematics。数学家苏步青说他学微积分做了一万道题。而大家用的数学分析教材上总共只有2000多道习题。不花功夫做题,数学分析功底想打得扎实是不可能的。同时,也需要注意做题的效率,多做好的题目。李大潜院士曾说过,“学习数学的四字诀是‘少,慢,精,深’;习题不能一‘刷’了事;习题解答好比学习上的毒品”。

最近有个数据,2005-2014十年间的中国大学录取分数线排行榜中,金沙官网名列第11位。金沙官网学生的素质可见一斑。学习数学分析的目标可以不仅仅是多刷题考高分。多读书、多思考,对于常识系统的建立,思维习惯的培养,数学素养的养成,大有裨益。

多读书、多思考,可以把内容理解清楚。从某种意义来说,好的例子和习题是为了理解概念和定理。比如,为什么要学习这个概念、定理?它有什么用处?它能说明什么问题?……举个例子。调和级数发散,2-级数收敛,可以据此说明自然数的分布比平方数密集吗?如果可以的话,那么所有素数的倒数之和发散吗?关心这个问题的原因在于,如果答案是发散的话,就会说明素数尽管越来越稀少,但是素数的分布仍然比平方数密集得多。后者显然不再是所有人都知道的明显的结论。诸如此类的问题,你思考得越多越深入,你从这个学习过程中得到的体会和收获也会越多。当你提出的、解决的有意义的个体小问题足够多时,自然地也就会得到你自己对于这门课程的认识。


    学生问:平时做了很多题,可是考试时为什么不会做?

杨世海对多数初学者来说,数分非常难。常识点多,不同常识点间相互关联多,这就需要平时的积累,而不仅仅是考前的复习。同时要注意的是,学习数分应该“不唯书,不唯师”。平时课后常有学生向老师要某个例题的标准答案。实际上,很多数分题目是没有标准答案的。比如,放大法证明数列或函数极限时,理论上有无数种放大的方法,哪有什么标准答案呢?又如,数分书中有很多相互等价的定理,或者各种不同的充分条件,那么从不同的角度切入同一问题时,自然的就会写出截然不同的答案。再如,数分中还有很多的举反例问题,更是没有标准答案的。所以,做题后需要对于题目和答案有再次的深入思考,例如:答案的要点是什么?有没有其他本质上不同的方法?证明的每一步为什么这样做?是怎么想到这样证明的?想通想透,才会真正掌握成为自己的常识。

学生问:什么是好的数学证明?

杨世海数学证明中,技巧非常重要。但不能只用技巧、简单来衡量数学证明的好坏。以Cauchy不等式的证明为例,Schwarz利用判别式的证明犹如天马行空,是奇思妙想,也可能是灵感乍现,类似浪漫主义;而利用向量内积的语言,代数不等式清晰的对应着几何直观。数学的发展让大家更清楚地看到了问题的本质,好比现实主义。就此例而言,现实胜过浪漫,朴实超越技巧。再以零点定理的证明为例,大家可以使用不同的实数系基本定理。但是其中,恐怕利用Cantor闭区间套定理的证明方法最为重要。无关乎证明的简单和复杂,而是因为它给出了解方程的具体步骤。证明方法在此时比定理本身都更为重要。

学生问:数学分析中有哪些漂亮的结果?

杨世海数学分析书中有许多优美的、简洁的公式。但是看似复杂的Taylor公式、Jensen不等式也非常优美。也就是吴文俊院士所说的: “质的困难通过量的复杂被解决了”。数学分析中也有很多看似奇怪的定义,例如紧集的有限覆盖定义。可是一旦大家在处理如何从局部拼接成整体的问题时不断发现紧集所发挥的作用,“奇怪”的定义在大家眼中又会变成如此自然、优美的定义。数学分析中还有很多令人吃惊的结果,例如黎曼重排定理。可是一旦大家理解了黎曼的证明,大家会知道奇异的现象仅仅是由于条件收敛级数中正项、负项部分的平衡而产生的。爱因斯坦有句名言:“这个世界最让人难以理解的地方就是它居然是可以被理解的”。

(供稿:杨世海  供图:杨世海 编审:李卫  收稿日期:2016831

 

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